{"id":374,"date":"2017-08-22T10:34:23","date_gmt":"2017-08-22T08:34:23","guid":{"rendered":"http:\/\/abcabacus.org\/?page_id=374"},"modified":"2021-02-09T12:37:55","modified_gmt":"2021-02-09T11:37:55","slug":"cohort-component-algebra","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/abcabacus.org\/?page_id=374","title":{"rendered":"Algebra of Population Projections"},"content":{"rendered":"<p>&nbsp;<\/p>\n<style type=\"text\/css\">code{white-space: pre;}<\/style>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"font-family: Arial; line-height: 1.0; font-size: 1.5em;\">\n<p><b>Preamble<\/b><\/p>\n<p>This post is part of an effort to document the cohort-component method in a comprehensive und practical way.<br \/>\nIt is work in progress, and put online hoping it is useful. Suggestions and corrections welcome!<\/p>\n<p>The text was taken from unpublished write-ups in MS Word (247 formulas in MathType) and turned semi-automatically (using pandoc) into a html document. Mathematical equations and symbols are originally created in MathType for Word, then converted into PlainTeX.<br \/>\nThere are still many problems (charts, tables, other references than ToC [eqn. references, ..]) waiting for solutions.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"header\">\n<h1 class=\"title\">Cohort-component algebra<\/h1>\n<\/div>\n<div id=\"TOC\">\n<ul>\n<li><a href=\"#introduction\"><span class=\"toc-section-number\">1<\/span> Introduction <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#synopsis-cohort-component-projection-for-open-populations\"><span class=\"toc-section-number\">2<\/span> Synopsis: Cohort-component projection for open populations<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#forward-projection\"><span class=\"toc-section-number\">2.1<\/span> Forward projection<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#births\"><span class=\"toc-section-number\">2.1.1<\/span> Births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#survival-of-births\"><span class=\"toc-section-number\">2.1.2<\/span> Survival of births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-closed-age-groups\"><span class=\"toc-section-number\">2.1.3<\/span> Projecting closed age groups<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-the-last-open-ended-age-group-standard-age-format\"><span class=\"toc-section-number\">2.1.4<\/span> Projecting the last, open-ended age group, standard age format<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-the-last-open-ended-age-group-extended-age-format\"><span class=\"toc-section-number\">2.1.5<\/span> Projecting the last, open-ended age group, extended age format<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#calculation-of-deaths\"><span class=\"toc-section-number\">2.2<\/span> Calculation of deaths<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#births-1\"><span class=\"toc-section-number\">2.2.1<\/span> Births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#closed-age-groups\"><span class=\"toc-section-number\">2.2.2<\/span> Closed age groups<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#last-open-ended-age-group\"><span class=\"toc-section-number\">2.2.3<\/span> Last, open-ended age group<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#transformation-of-cohort-deaths-into-death-by-age\"><span class=\"toc-section-number\">2.3<\/span> Transformation of cohort deaths into death by age<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#first-age-group\"><span class=\"toc-section-number\">2.3.1<\/span> First age group<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#other-closed-age-groups\"><span class=\"toc-section-number\">2.3.2<\/span> Other closed age groups<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#last-open-ended-age-group-1\"><span class=\"toc-section-number\">2.3.3<\/span> Last, open-ended age group<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#approximation-i\"><span class=\"toc-section-number\">2.3.4<\/span> Approximation I<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#approximation-ii\"><span class=\"toc-section-number\">2.3.5<\/span> Approximation II<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#closed-population\"><span class=\"toc-section-number\">3<\/span> Closed population<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#forward-projection-1\"><span class=\"toc-section-number\">3.1<\/span> Forward Projection<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#births-2\"><span class=\"toc-section-number\">3.1.1<\/span> Births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#survival-of-births-1\"><span class=\"toc-section-number\">3.1.2<\/span> Survival of births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-closed-age-groups-1\"><span class=\"toc-section-number\">3.1.3<\/span> Projecting closed age groups<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-the-last-open-ended-age-group-standard-age-format-1\"><span class=\"toc-section-number\">3.1.4<\/span> Projecting the last, open-ended age group, standard age format<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-the-last-open-ended-age-group-extended-age-format-1\"><span class=\"toc-section-number\">3.1.5<\/span> Projecting the last, open-ended age group, extended age format<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#calculation-of-cohort-deaths\"><span class=\"toc-section-number\">3.2<\/span> Calculation of cohort deaths<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#births-3\"><span class=\"toc-section-number\">3.2.1<\/span> Births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#closed-age-groups-1\"><span class=\"toc-section-number\">3.2.2<\/span> Closed age groups<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#last-open-ended-age-group-standard-age-format\"><span class=\"toc-section-number\">3.2.3<\/span> Last, open-ended age group, standard age format<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#last-open-ended-age-group-extended-age-format\"><span class=\"toc-section-number\">3.2.4<\/span> Last, open-ended age group, extended age format<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#open-population\"><span class=\"toc-section-number\">4<\/span> Open population<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#forward-projection-split-migration-option\"><span class=\"toc-section-number\">4.1<\/span> Forward projection, split migration option<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#births-4\"><span class=\"toc-section-number\">4.1.1<\/span> Births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#survival-of-births-2\"><span class=\"toc-section-number\">4.1.2<\/span> Survival of Births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-closed-age-groups-2\"><span class=\"toc-section-number\">4.1.3<\/span> Projecting closed age groups<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-the-last-open-ended-age-group-standard-age-format-2\"><span class=\"toc-section-number\">4.1.4<\/span> Projecting the last, open-ended age group, standard age format<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-the-last-open-ended-age-group-extended-age-format-2\"><span class=\"toc-section-number\">4.1.5<\/span> Projecting the last, open-ended age group, extended age format<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#calculation-of-cohort-deaths-1\"><span class=\"toc-section-number\">4.2<\/span> Calculation of cohort deaths<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#births-5\"><span class=\"toc-section-number\">4.2.1<\/span> Births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#closed-age-groups-2\"><span class=\"toc-section-number\">4.2.2<\/span> Closed age groups<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#last-open-ended-age-group-2\"><span class=\"toc-section-number\">4.2.3<\/span> Last, open-ended age group<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#forward-projection-mid-period-migration-option\"><span class=\"toc-section-number\">4.3<\/span> Forward projection, mid-period migration option<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#births-6\"><span class=\"toc-section-number\">4.3.1<\/span> Births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#survival-of-births-3\"><span class=\"toc-section-number\">4.3.2<\/span> Survival of Births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-closed-age-groups-3\"><span class=\"toc-section-number\">4.3.3<\/span> Projecting closed age groups<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#projecting-the-last-open-ended-age-group\"><span class=\"toc-section-number\">4.3.4<\/span> Projecting the last, open-ended age group<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#calculation-of-cohort-deaths-2\"><span class=\"toc-section-number\">4.4<\/span> Calculation of cohort deaths<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#births-7\"><span class=\"toc-section-number\">4.4.1<\/span> Births<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#closed-age-groups-3\"><span class=\"toc-section-number\">4.4.2<\/span> Closed age groups<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#last-open-ended-age-group-3\"><span class=\"toc-section-number\">4.4.3<\/span> Last, open-ended age group<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#indicators-and-symbols\"><span class=\"toc-section-number\">5<\/span> Indicators and symbols<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#bibliography\"><span class=\"toc-section-number\">6<\/span> Bibliography<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<h1 id=\"introduction\"><span class=\"header-section-number\">1<\/span> Introduction<\/h1>\n<p>The following text summarizes basic mathematical approaches to population projections using the cohort-component method, including the calculation of deaths and their subsequent transformation into deaths by age. Most of these formulas are well established, but rarely comprehensively documented and presented together with their derivation. Thus, by pulling together different sources and using different approaches, the text tries to provide a systematic description of the underlying algebra and the relationships between the demographic components.<\/p>\n<p>This document is based on employing the period life table as the basis for developing the mathematics of population projections, including the calculation of associated deaths. It is helpful to recall that the L<sub>x<\/sub> column of the life table represents the person-years lived of a life table population and therefore represents a (stationary) population. Consequently, using the L<sub>x<\/sub> column of the life table and associated statistics (like the survivor proportion), it is possible to develop the cohort component projection method. There are other approaches to formulate the cohort-component method, but they are not covered here<a id=\"fnref1\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn1\"><sup>1<\/sup><\/a>.<\/p>\n<p>This document and its annexes also includes an extension to the usual calculation of deaths in a cohort component projection, namely for the explicit calculation of deaths to the last closed age group. This extension was prompted by the availability of revised model life tables extended to a highest age of 130 years (see UNPD 2015). Some extra attention is paid to the adequate exposed-to-risk for the early years of life, for the time from birth to age one and age five.<\/p>\n<p>Another rarely covered element of calculating cohort component projection is the calculation of deaths by age and sex. Deaths in a cohort-component framework are associated with the survival of cohorts of people of the same years of birth, they are, in Lexis&#8217;s terms, period-cohort events. Because deaths produced by statistical agencies are normally formatted according to a period-age observation plan, the deaths calculated in a cohort component projection need to be transformed to that format. The transformation of cohort deaths into deaths by age and sex can be achieved by applying cohort-separation factors obtained from a life table, as shown in general terms in Annex II.<\/p>\n<p>There are topics not yet covered, among them methods for reverse-projection and the methodology of multiregional projections.<\/p>\n<h1 id=\"synopsis-cohort-component-projection-for-open-populations\"><span class=\"header-section-number\">2<\/span> Synopsis: Cohort-component projection for open populations<\/h1>\n<h2 id=\"forward-projection\"><span class=\"header-section-number\">2.1<\/span> Forward projection<\/h2>\n<p>For this approach to calculate forward projection for populations open to migration, the (net) migration by age need to be re-arranged into a cohort format:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73bc5c805c9c7a7355e4221eb50d04ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"births\"><span class=\"header-section-number\">2.1.1<\/span> Births<\/h3>\n<p>Births are calculated by multiplying age-specific fertility rates to (female) population at risk during the interval, including the contribution made by migrant women in the reproductive age. Since net migration is predominantly being used in national projections, migration figures can be positive (excess of immigrant) or negative (excess of emigrants). Consequently, the contribution of migrants in following formula might be positive or. Negative net migration produces negative births, that is births that would have occurred in the country had the woman not emigrated. Since the outmigration has not been considered in the calculation of the births attributable to the female population present at the beginning of the period, those &#8220;lost&#8221; births need to be subtracted.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5488323218c5d86e1cea194388c4b7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#123;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#49;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"602\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"survival-of-births\"><span class=\"header-section-number\">2.1.2<\/span> Survival of births<\/h3>\n<p>Births are forward survived by using the following formula. Note that migrants born during the interval are factored-in by applying two thirds of the mortality in the interval.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1c22a7789bc3cfaa5563c673716506c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#51;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#50;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"465\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"projecting-closed-age-groups\"><span class=\"header-section-number\">2.1.3<\/span> Projecting closed age groups<\/h3>\n<p>The forward projection is then done using the following formula for ages <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edb4ddaf303991371aa9da7d28c8aef2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#48;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#110;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#50;&#110;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#32;&#92;&#108;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#122;&#32;&#45;&#32;&#50;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f07a99b7db88b47b08368b516f58c041_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"407\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"projecting-the-last-open-ended-age-group-standard-age-format\"><span class=\"header-section-number\">2.1.4<\/span> Projecting the last, open-ended age group, standard age format<\/h3>\n<p>The open-ended age group at time t+n is composed of the survivors of the last closed age group at time t plus the survivors of the open-ended age group at time t. Population projections are usually prepared with life tables having the same ultimate age group as the population to be projected. In such a case, the last closed age group, and the open-ended age group of the population at time t need be combined and projected together.<\/p>\n<p><strong>Case:<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad784120a82c29947a242e7b001c24a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#61;&#32;&#122;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><br \/>\nFirst, the last two age groups of the population at time t are aggregated into a new last, open-ended age group starting at age <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be262ceeab0912d743891853ebd41f7b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#32;&#61;&#32;&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#45;&#32;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-17f73f7575711d76249ba270e6e0e083_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<p>For the corresponding migration in period-cohort format, half the migration in age group z-n und all the last, open-ended age group, is to be combined<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c86aa003162f70e5f87a395f117e970_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#46;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"243\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>The survivor ratio for the last age group is taken from the life table statistic <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b0eafccbd545634b853be6146fff14aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#84;&#95;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><sub>,<\/sub> e.g. &#8220;persons years lived above age x&#8221;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02676a1a7647785444ea93ee9bfec602_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -13px;\"\/><\/p>\n<p>After these preparatory steps, the forward projection can be performed<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-731c2ef45995ced933699508c429f3f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#46;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"438\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>and simplified<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-accb83148b82a87d2562c895605850da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#46;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"450\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>This formula assumes that population age structure is stationary beginning at age <em>z-n<\/em>. Another implication of this formula is that deaths by age group can only be calculated for the last two age groups.<\/p>\n<p>An approach that avoids these implications is presented next.<\/p>\n<h3 id=\"projecting-the-last-open-ended-age-group-extended-age-format\"><span class=\"header-section-number\">2.1.5<\/span> Projecting the last, open-ended age group, extended age format<\/h3>\n<p><strong>Case<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-589cb8abc26ed97bee66e3bff690e3a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#103;&#101;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><br \/>\nIn case the underlying life table has more age groups than the population, calculations can be done in more detail by separating the last closed age group from the last open-ended age group. First, migrants are re-arranged into two cohort age groups. Note that splitting the last age group in half to estimate cohort events is a rough approximation, especially if there is still sizable migration happening in that age group.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-371cf059e670097b6e79ead947f32f10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#101;&#113;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#123;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#92;&#99;&#114;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"426\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>With the cohort migration in place, we can project according to the following formula:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a1e81f3bfb2d5c6fb9598e393d9d5c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"761\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>This formula assumes that the population age structure is stationary beginning at age <em>z<\/em>.<\/p>\n<p>Note that Hill (1990, p. 50) suggest splitting the migrants differently. (to be added)<\/p>\n<h2 id=\"calculation-of-deaths\"><span class=\"header-section-number\">2.2<\/span> Calculation of deaths<\/h2>\n<p>Deaths calculated in the context of a cohort-component model are deaths according to a period-cohort observation plan, or cohort deaths for short.<\/p>\n<h3 id=\"births-1\"><span class=\"header-section-number\">2.2.1<\/span> Births<\/h3>\n<p>Following a suggestion made by Pollard, the migrants born during the period are exposed to two-thirds of the overall mortality occurring between births and the end of the projection period. Note that these deaths are occurring in a lower Lexis triangle (denoted with left superscript <em>l<\/em>).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-867f2a8f1cd6fdcf4c3d3c1324fade86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#50;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#51;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"516\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"closed-age-groups\"><span class=\"header-section-number\">2.2.2<\/span> Closed age groups<\/h3>\n<p>The total number of deaths in a closed age group for ages <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f714f3ec8ee0426d4bf7a42c744ca36_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#48;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#110;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#50;&#110;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#32;&#92;&#108;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> is calculated according to the following formula:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66d48c58e00f01efd0830b64659102cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"444\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>Recall the rearrangement of migrants by age into a cohort format according to the formulas:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73bc5c805c9c7a7355e4221eb50d04ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<p>Note that for the penultimate age group, it is assumed that the cohort migrants are composed of half the migrants in age group z-n and half of the last, open- ended age group z.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d72980c3c08ce898597fe83576d1dee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"last-open-ended-age-group\"><span class=\"header-section-number\">2.2.3<\/span> Last, open-ended age group<\/h3>\n<p>We distinguish two different cases.<\/p>\n<p><strong>Case:<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0aec599cdb87b8b77240693401f500d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#103;&#101;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><br \/>\nDeaths occurring to the last open-ended age group are calculated as follows.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7de2f9397df2cb643bbb8d81769f9cac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b02c1679964dbb4e5ab28c5f4cbcbcb0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#68;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"448\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<h2 id=\"transformation-of-cohort-deaths-into-death-by-age\"><span class=\"header-section-number\">2.3<\/span> Transformation of cohort deaths into death by age<\/h2>\n<p>Deaths calculated in a cohort-component framework are cohort deaths, or, in Lexis terms, deaths in a Period-Cohort format [P-C]. This segment shows the transformation of cohort deaths into deaths by age (Period-Age format, [P-A]). For details, see Annex II.<\/p>\n<h3 id=\"first-age-group\"><span class=\"header-section-number\">2.3.1<\/span> First age group<\/h3>\n<p>The first age group in [P-A] format consists of the lower triangle deaths that are associated with the survival of births to the end of the period, plus the upper triangle of the first full cohort age group.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45127131b54fc9831c314414738b8f0a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#117;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"219\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/><\/p>\n<p>The lower triangle has already been calculated (see 2.2.1.). The upper triangle can be calculated using the corresponding cohort separation factor (see 6.1).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29b6c1c3b9f0df8b153ac3b4b942f208_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#117;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#125;&#94;&#99;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#102;&#125;&#125;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"203\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/><\/p>\n<p>The total number of deaths in the first age group [<em>x=0, n<\/em>] can then be calculated as:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6fe0bb0db12b6987bfcf1818f83713e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#125;&#94;&#99;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#102;&#125;&#125;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"282\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"other-closed-age-groups\"><span class=\"header-section-number\">2.3.2<\/span> Other closed age groups<\/h3>\n<p>The other closed age groups in Period-Age format are calculated by applying appropriate cohort-separation factors and rearranging the resulting Lexis triangles.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-986f6a8a963d44212582731835409916_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#117;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#94;&#99;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#102;&#125;&#125;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#125;&#94;&#99;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#102;&#125;&#125;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"551\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81066f5336b383dee235d38ea1cf071e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#110;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#50;&#110;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#32;&#92;&#108;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#44;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#32;&#125;&#125;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>.<\/p>\n<h3 id=\"last-open-ended-age-group-1\"><span class=\"header-section-number\">2.3.3<\/span> Last, open-ended age group<\/h3>\n<p>If the underlying life table provides more age groups than the population, than the deaths by age starting at age z-n can be calculated by the above formula. The last open-ended age group beginning at age z is then the sum of the cohort death associated with the last age plus a fraction from the last closed age group.<\/p>\n<p><strong>Case<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-589cb8abc26ed97bee66e3bff690e3a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#103;&#101;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b9df36ce8f5b3452350f8a0af47eb27_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#68;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#125;&#94;&#99;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#102;&#125;&#125;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#68;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"285\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"approximation-i\"><span class=\"header-section-number\">2.3.4<\/span> Approximation I<\/h3>\n<p>If projections are calculated in single-year-of-age format, then cohort separation factors may be set to 0.5 as a reasonable first approximation. Since the non-linear probability of dying during the first year of life is already reasonably well accounted for in the first lower Lexis triangle, such a shortcut seems appropriate.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-46d38fdb157a0d77e70db2a2cbc30775_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#80;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"232\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c4fb55b475752dc675f35821c818e9b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#80;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1dc011c516a4e7b1fa567596e51e6865_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#80;&#68;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#68;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"approximation-ii\"><span class=\"header-section-number\">2.3.5<\/span> Approximation II<\/h3>\n<p>The simple approximation under 2.3.4. can be improved by iteratively refining the (empirical) cohort separation factors. This is especially useful for the first and last age groups. It is advisable to use such refinement when the age groups are larger than one year.<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: decimal;\">\n<li>Set the cohort separation factor fc to halve the age interval<\/li>\n<li>Calculate the death according to the period-age observation plan by using the cohort-separation factors.<\/li>\n<li>Calculate life tables statistics m<sub>x<\/sub>, a<sub>x<\/sub>, q<sub>x<\/sub> (or p<sub>x<\/sub>), l<sub>x<\/sub> and L<sub>x<\/sub>. Obtain updated cohort separation factors from the life table statistics.<\/li>\n<li>Repeat with step 2 or stop.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>&nbsp;<\/strong><\/p>\n<h1 id=\"closed-population\"><span class=\"header-section-number\">3<\/span> Closed population<\/h1>\n<p>First, the cohort-component method is developed for population closed to migration. This allows for a streamlined derivation of the basic mathematical relations. Note that the document does not distinguish between male and female populations but assumes a female-dominant population.<\/p>\n<h2 id=\"forward-projection-1\"><span class=\"header-section-number\">3.1<\/span> Forward Projection<\/h2>\n<p>It is useful to distinguish four different tasks for the projection of a population:<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: decimal;\">\n<li>The calculation of births by age of mother<\/li>\n<li>The survival of births to the end of the projection interval<\/li>\n<li>The projection of cohorts already born except the last-open-ended age group (closed age groups),<\/li>\n<li>The projection of the last, open-ended age group.<\/li>\n<\/ol>\n<p>For the symbols employed throughout the text, see Annex I.<\/p>\n<h3 id=\"births-2\"><span class=\"header-section-number\">3.1.1<\/span> Births<\/h3>\n<p>The births during the projection period are the basis for calculation the first age group of the projected population. Births by age of mother are calculated by multiplying age-specific fertility rates with exposed to risk female population<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1dbb34f236404e2789a059d1109e24cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"308\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<p>Note that population exposed to the risk of childbearing belongs to the same age group but at different points in time and is therefore not a cohort format. Using the projection formulas for a closed population, births by age of mother can be calculated without first executing the projection:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-463f62876664a32b5a55b63f155b5c00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>Total births are then obtained by summing the births by age of mother for all age groups of reproductive age.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73031976ddd22bc808b857e9ff629401_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#115;&#117;&#109;&#92;&#108;&#105;&#109;&#105;&#116;&#115;&#95;&#123;&#120;&#32;&#61;&#32;&#49;&#53;&#125;&#94;&#123;&#53;&#48;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"survival-of-births-1\"><span class=\"header-section-number\">3.1.2<\/span> Survival of births<\/h3>\n<p>The births born during period [t, t+n] need to be forward survived to the end of the projection period. The survivor ratio for forward surviving the births to the end of the projection period is the proportion of the radix of the life table <em>l<\/em><sub>0<\/sub> (the births) to the person-years-lived for the first age group of the life table <sub>n<\/sub>L<sub>0<\/sub>.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a6e8714c8b93680c595eea9ac8b2135_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"186\" style=\"vertical-align: -8px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"projecting-closed-age-groups-1\"><span class=\"header-section-number\">3.1.3<\/span> Projecting closed age groups<\/h3>\n<p>The population in age group [x, x+n] at time t is forward survived\/projected to time t+n and age group [x+n, x+2n] using ratios of life table person-year lived (<sub>n<\/sub>L<sub>x<\/sub>) or survivor ratios (<sub>n<\/sub>S<sub>x<\/sub>) as follows (<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0689cabe504bb97f8a9fc862c45f760c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#32;&#61;&#32;&#48;&#44;&#110;&#44;&#50;&#110;&#44;&#46;&#46;&#46;&#44;&#122;&#32;&#45;&#32;&#50;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>)<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-624a98d9a855dfd9648958f3a6fc7999_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -11px;\"\/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb8617295e23b6483c37469f472f4e4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"172\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"projecting-the-last-open-ended-age-group-standard-age-format-1\"><span class=\"header-section-number\">3.1.4<\/span> Projecting the last, open-ended age group, standard age format<\/h3>\n<p>The open-ended age group at time t+n is composed of the survivors of the last closed age group at time t plus the survivors of the open-ended age group at time t. Population projections are usually prepared with life tables having the same ultimate age group as the population to be projected. In such a case, the last closed age group, and the open-ended age group of the population at time t need be combined and projected together.<\/p>\n<p><strong>Case:<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad784120a82c29947a242e7b001c24a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#61;&#32;&#122;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6db9e844659cae2875029b60fa5e0fac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#123;&#92;&#115;&#117;&#109;&#92;&#108;&#105;&#109;&#105;&#116;&#115;&#95;&#123;&#120;&#32;&#61;&#32;&#122;&#125;&#94;&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#123;&#76;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#92;&#115;&#117;&#109;&#92;&#108;&#105;&#109;&#105;&#116;&#115;&#95;&#123;&#120;&#32;&#61;&#32;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#123;&#76;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"61\" width=\"500\" style=\"vertical-align: -26px;\"\/><\/p>\n<p>This formula assumes that population age structure is stationary beginning at age z-n. Another implication of this formula is that deaths by age group can only be calculated for the last two age groups combined \u2013 the deaths of the last closed age group [z-n, n] are not separately available.<\/p>\n<p>An approach that avoids these implications is presented next.<\/p>\n<h3 id=\"projecting-the-last-open-ended-age-group-extended-age-format-1\"><span class=\"header-section-number\">3.1.5<\/span> Projecting the last, open-ended age group, extended age format<\/h3>\n<p>If the underlying life table has at least one more age groups than the population to be projected, the last closed age group and the open-ended age group can be projected separately. This limits the assumption of stationarity to the last, open-ended age group and, at the same time, allows for the calculation of deaths for all age groups, including the last closed age group (shown later).<\/p>\n<p><strong>Case:<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0aec599cdb87b8b77240693401f500d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#103;&#101;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><br \/>\nRecall also that the last open-ended age group at time t+n is composed of the survivors of the last closed age group plus the survivors of the open-ended age group. The projected population at the end of the projection interval is then<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-780e611cebe81b70b796b721bb00253f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<p>The survivors of the last closed age group at time t are then<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b8e0b85ee02f2355d69286388c4dcef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"328\" style=\"vertical-align: -13px;\"\/><\/p>\n<p>The survivors of the open-ended age group at time t+n are calculated by using a <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cf0f965c091510fd5b333a6ea19cf41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#84;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -2px;\"\/>where <em>x<\/em> = z + n, which is beyond the last age of the population under consideration.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45603d59ea6a44ea89d7791811c52597_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -11px;\"\/><\/p>\n<p>Combining the formulas gives an expression for the last open-ended age group:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7996e58b2e1cdd3a61e124d5af1dbdcd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"568\" style=\"vertical-align: -13px;\"\/><\/p>\n<h2 id=\"calculation-of-cohort-deaths\"><span class=\"header-section-number\">3.2<\/span> Calculation of cohort deaths<\/h2>\n<p>The cohort component method operates along cohort lines: The population in age group <em>x<\/em> to <em>x+n<\/em> at time t is moved forward to time t+n and age group <em>x+n<\/em> to x+2n. The deaths associated with such an approach are here called cohort deaths and labeled <sup>c<\/sup>D<sub>x<\/sub>. The calculation of cohort deaths (according to a period-cohort observation plan) in a close population are shown next.<\/p>\n<p>Implementing the calculation of deaths in a cohort-component framework is complicated as the results by age are (1.) according to a period-cohort observation plan, and (2.) is generating a Lexis triangle for its first element.<\/p>\n<h3 id=\"births-3\"><span class=\"header-section-number\">3.2.1<\/span> Births<\/h3>\n<p>We start with deaths occurring to births until the end of the projection interval. These deaths are occurring in a lower Lexis triangle, denoted with <em>l<\/em>.<\/p>\n<p>.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-980a23c2a50e1a9730c86cd426946834_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"455\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/>.<\/p>\n<p>Note that the numerator <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3fb4b9ed8067c5ca9843941d780b8ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#123;&#76;&#95;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/>is the equivalent of the deaths in the first, lower Lexis triangle (births during the interval minus survivor at the end of the interval).<\/p>\n<h3 id=\"closed-age-groups-1\"><span class=\"header-section-number\">3.2.2<\/span> Closed age groups<\/h3>\n<p>Next, the cohort deaths for cohorts already born are calculated, except for the last, open-ended age group. The left superscript c labels the deaths as cohort deaths.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4d30c87f8f212c38c6f608fa13f49bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"615\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>Note that the numerator<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cc4b08d34b57092b934d292a10ea152_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"147\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/> is the life table equivalent of the cohort deaths that we wish to calculate for the population projection.<\/p>\n<p>Note that the age range applicable for the calculation of closed age groups is different depending on the availability of extended life tables:<\/p>\n<h3 id=\"last-open-ended-age-group-standard-age-format\"><span class=\"header-section-number\">3.2.3<\/span> Last, open-ended age group, standard age format<\/h3>\n<p>If the base population and the underlying life table share the same last age (z=\u03c9), then the following approach for the calculation of the last, open-ended age group must be used.<\/p>\n<p><strong>Case:<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad784120a82c29947a242e7b001c24a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#61;&#32;&#122;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c4e7f6000fb187b123b9ccd48e4b07b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#68;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"314\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>Note that in this case the deaths for the last open-ended age group start at z-n.<\/p>\n<h3 id=\"last-open-ended-age-group-extended-age-format\"><span class=\"header-section-number\">3.2.4<\/span> Last, open-ended age group, extended age format<\/h3>\n<p>If a life table with at least one more age group then is available for the population is used, then deaths can be calculated for all age groups, including the last closed population age group.<\/p>\n<p><strong>Case:<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0aec599cdb87b8b77240693401f500d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#103;&#101;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><br \/>\nDeaths occurring to the last open-ended age group are calculated as follows.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dbffc7d16f24242a4df8c4a015612981_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#68;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"236\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>Note that in the case of extended age formats, the last open-ended age group starts at age z.<\/p>\n<h1 id=\"open-population\"><span class=\"header-section-number\">4<\/span> Open population<\/h1>\n<p>The projection of population open to migration follows the same steps as outlined for a closed population. The one difference is to account for the effects of (international) net migration.<\/p>\n<p>Basically, migration could be treated the same way as births or deaths: immigration adds to the population, and emigration reduces the population.<\/p>\n<p>There are several approaches to incorporate migration.<\/p>\n<p>One popular approach, outlined in Preston et al. (2001, 24 pp), is presented below. This approach divides net migration (by cohorts) into two parts, of which half is added to the population at the beginning of the period, and half is added to the end. Such an approach exposes half the migration added to the beginning to the full amount of mortality, and excludes the other half that is added at the end of the period from the risk of dying. By adding half of the migration of the next age group to the population at the end, this approach operates, albeit implicitly, on cohorts. This approach for integrating migration into the cohort-component framework is called &#8220;<strong>Split migration option<\/strong>&#8221; in this document.<\/p>\n<p>The approach is correcting a few errors in the formulas presented in Preston (2001). In addition, it is extended for the calculation of deaths.<\/p>\n<p>Another, but similar, approach is more compact and operates under the assumption that migration enters\/leaves the population exactly at mid-period, exposing all the migration to half of the mortality. Note that in this approach, migration needs to be transformed explicitly into cohorts, usually by splitting age groups into halves and then re-arranging them into cohorts. This approach will be called &#8220;<strong>Mid-period option<\/strong>&#8221; throughout this document<a id=\"fnref2\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn2\"><sup>2<\/sup><\/a>.<\/p>\n<p>It is important to note that both approaches produce reasonable approximations but rest on a few assumptions. Because the cohort-component method acts on cohorts, the usual migration figures by age group need to be re-arranged into cohort age groups. Both approaches mentioned Splitting age groups by half implies that net migration does not change significantly between two adjacent age groups. Errors incurred by these simplifications are larger in the context of five-year age groups and smaller in single year age groups.<\/p>\n<p>Both approaches are documented separately.<\/p>\n<p>This document contains a minor innovation by following up on a suggestion by Preston et al. (2001) to project the last, open-ended age group in a cohort-projection by separating the projection of the two age groups involved (the last closed and the open-ended age group) separately. Such an approach has two advantages:<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: decimal;\">\n<li>It relaxes the implicit assumption about the stationarity of the last population age groups from applying to the last two age groups to only the last (open-ended) age group.<\/li>\n<li>It allows calculating deaths for the last closed age group and for the last, open-ended age group separately.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Such an approach requires having an underlying life table with at least one more age group than the population to be projected. As Preston et al. (2001) did not apply this approach in their book, this document is probably the first documenting it comprehensively.<span id=\"_Toc347312174\" class=\"anchor\"><\/span><\/p>\n<h2 id=\"forward-projection-split-migration-option\"><span class=\"header-section-number\">4.1<\/span> Forward projection, split migration option<\/h2>\n<h3 id=\"births-4\"><span class=\"header-section-number\">4.1.1<\/span> Births<\/h3>\n<p>First, births need to be calculated by also factoring in the effects of net-migration, that&#8217;s the impact of an increasing or decreasing population exposed to the risk of giving birth<a id=\"fnref3\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn3\"><sup>3<\/sup><\/a>.<\/p>\n<p>It is helpful to develop the formulas separately for births born by the (female) population present at the beginning of the projection interval and those born to (female) migrants that entered during the projection interval. The births born by mothers present at the beginning of the interval (initial-at-risk) are calculated using the formula for a closed population.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25858259f944804e9825bb2d77d55a74_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#112;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"317\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<p>Note that for an open population, the (female) population at time t+n at age <em>x<\/em> would already include net migration occurring during period [t, t+n]. By forward surviving the population at age x-n at time t to time t+n and age group <em>x<\/em> using survivor ratios, we get the person \u2013years lived for those present at the beginning of the projection interval<a id=\"fnref4\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn4\"><sup>4<\/sup><\/a>:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64be2ee8318fd201e8e40892c8af9f99_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#112;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#49;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"392\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>The births by age of migrating mother (in or out) are calculated similarly, by replacing the population at risk at age <em>x<\/em> with half the migrants at risk during period [t, t+n] at age x<a id=\"fnref5\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn5\"><sup>5<\/sup><\/a>:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-836508da49a8712290d7a5ccd5b0f057_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#109;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"468\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>Combining the two components results in the births by age of mother during period [t, t+n] for a population open to migration:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c6499e29b5f43e355d0e8e92d6ba238_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#112;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#109;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"241\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><\/p>\n<p>And written explicitly:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e31236ab1e21212e78988e1cd74ba24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#49;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"771\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>Simplification yields:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-52d81fc318afaa96ff6b127100ba8de6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#49;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"579\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"survival-of-births-2\"><span class=\"header-section-number\">4.1.2<\/span> Survival of Births<\/h3>\n<p>After the births by age of mother that include the effects of net-migration have been calculated, total births are obtained by adding the births by age group. Note that for surviving births thus obtained to the end of the projection period, another contribution of net-migration still needs to be added. Remember that the births calculated above do not include those newborn migrants that were born during the projection period [t, t+n] by migrants outside the country. They are part of the migrants at age 0 to n.<\/p>\n<p>There are three approaches to deal with this (rather small) component<a id=\"fnref6\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn6\"><sup>6<\/sup><\/a>:<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: decimal;\">\n<li>Preston et al. suggested adding half the migrants aged 0 at the end of the interval.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-917f0aa37e32f1a6abeb3745cd24579e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"298\" style=\"vertical-align: -8px;\"\/>This is problematic as the migration quantities added at the end are by definition not subject to mortality.<\/li>\n<li>A more accurate solution would be to follow an approach that assumes the migrants that were born during the period are entering\/leaving the country at mid period and age aged n\/2 years<a id=\"fnref7\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn7\"><sup>7<\/sup><\/a>.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a03f5967c0c928d3621f1186b2e5f766_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"440\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/>However, this would ignore the uneven distribution of deaths in this age group. It is also likely that children (with their parents) usually do not migrate immediately after births.<\/li>\n<li>Pollard at el. (1974, p. 122) suggest applying two thirds of the survival to those migrants, e.g. two thirds of the mortality in the interval instead of one half.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1c22a7789bc3cfaa5563c673716506c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#51;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#50;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"465\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/>Since the overall weight of migrants in the first age group is normally very small when compared to the receiving\/sending population, the last two approaches appear to be reasonable. The last option applying two thirds of the overall mortality in the first triangle to half the migrants of that age group appears to be slightly more appropriate, however<a id=\"fnref8\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn8\"><sup>8<\/sup><\/a>.<\/li>\n<\/ol>\n<h3 id=\"projecting-closed-age-groups-2\"><span class=\"header-section-number\">4.1.3<\/span> Projecting closed age groups<\/h3>\n<p>In the approach suggested by Preston et al., the population at age <em>x<\/em> at time t is projected forward by applying the survivor ratio at age <em>x<\/em> for period [t, t+n] to the sum of the population and half the migrants at age x. Half the migration at age <em>x+n<\/em> is added at the end of the projection interval.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d01640f5d245a89c9b792b5378dd718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"432\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>Note that combining half the migrants at age <em>x<\/em> at the beginning of the projection period with half the migrants age <em>x+n<\/em> to the end of the projection period is following migrants along cohort lines, as required by the cohort-component model.<\/p>\n<h3 id=\"projecting-the-last-open-ended-age-group-standard-age-format-2\"><span class=\"header-section-number\">4.1.4<\/span> Projecting the last, open-ended age group, standard age format<\/h3>\n<p>The last open-ended age group is composed of the survivors of the last closed age group plus the survivors of the open-ended age group, including migrants. As this version of the inclusion of migrants exposes half of them to the full risk of dying, half of the migrants of the last age group need to be added at the end.<\/p>\n<p><strong>Case<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf2ef0d576bc2d80397c2c8e9978feed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#61;&#32;&#122;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><br \/>\nIn case the last age for the life table and the population are the same, then the following formula is used:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8104ab11b2ea7a1ed87c481f9b2c1df6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"582\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/p>\n<p>Rearranging the formula for the components, one gets:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0dec80df1ce5e095090f499314e510b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"659\" style=\"vertical-align: -13px;\"\/><\/p>\n<p>This formula assumes that the population age structure is stationary beginning at age z-n.<\/p>\n<h3 id=\"projecting-the-last-open-ended-age-group-extended-age-format-2\"><span class=\"header-section-number\">4.1.5<\/span> Projecting the last, open-ended age group, extended age format<\/h3>\n<p><strong>I<\/strong>n case the underlying life table has more age groups than the population, the penultimate age group and the last, open-ended age group can be projected separately.<\/p>\n<p><strong>Case<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-589cb8abc26ed97bee66e3bff690e3a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#103;&#101;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><br \/>\nIn this case, the population of the last, open-ended age group is the sum of these two age groups, plus half the migrants of the last open-ended age group at time t+n:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39e269e86ee55ca0966b33137c18d718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#42;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"35\" width=\"685\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>If the last, open-ended age group is significantly larger as the preceding closed age group, an equal split into halves may not be justified. Hill suggested to split the last, open-ended age group into \u00bc and \u00be, respectively (Hill. 1990, p. 50).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da06604a9d6ae1dbc9983f7427d76c94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#52;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#51;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#52;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#42;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"35\" width=\"685\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>These formulas assume that the population age structure is stationary beginning at age z.<\/p>\n<h2 id=\"calculation-of-cohort-deaths-1\"><span class=\"header-section-number\">4.2<\/span> Calculation of cohort deaths<\/h2>\n<h3 id=\"births-5\"><span class=\"header-section-number\">4.2.1<\/span> Births<\/h3>\n<p>Calculation of cohort deaths in an open population are shown next. We start with the deaths occurring to births until the end of the projection interval. These deaths are occurring in a lower Lexis triangle, denoted with superscript <em>l<\/em>. Note that the effects of net-migration to mothers are already contained in the total number of births. However, deaths experienced by migrants in this age group need to be considered. We start by calculating the deaths attributable to births born in the country during [t, t+n].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d9df31804643d2d9191cdc6330e9058_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>Net-migration contributes twice to the number of deaths occurring to births before reaching the end of the projection interval. First, as mentioned, net-migration adds\/subtracts women at risk from the population and thus results in more\/less births than would have occurred in the absence of migration. Second, those migrants born during the projection period [t, t+n] either in the country but left before their first birthday or those born outside the country but entered the country before their first birthday also contribute to deaths during the period. However, they are not exactly zero years old, e.g. they enter or leave the country at any age between 0 and n.<\/p>\n<p>As mentioned in 4.1.2. on forward surviving births in an open population, there are three approaches on how to consider migration in that first lexis triangle.<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: decimal;\">\n<li>The approach suggested by Preston at al. does not consider the contribution to migrants in the first Lexis triangle. The number of (cohort) deaths is then the same as for the case without migration in that age (note that the contribution of migrant women giving birth is included).<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d9df31804643d2d9191cdc6330e9058_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/li>\n<li>The second approach assumes that the migrants that were born during the period and entering entering\/leaving the country are exposed to the risk of dying half. The contribution of migrants to deaths in the first Lexis triangle is then:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14a5d3d2c00d21dae057c5c85a4c7ef9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#109;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"306\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/li>\n<li>To calculate the overall deaths occurring in the first Lexis triangle, we combine the formula for births and for migrants and get:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e7aa310a1a03bf96974079a9d38f863_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"516\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/li>\n<li>A suggestion made by Pollard would expose the migrants to two-thirds of the overall mortality in that Lexis triangle, thereby taking account of the uneven distribution of deaths in this age group<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b7c07805da7824a61058a98eae09c6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#109;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#50;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#51;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"318\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/>After combining the deaths to migrants and deaths to births, one gets:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-867f2a8f1cd6fdcf4c3d3c1324fade86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#50;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#51;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"516\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/li>\n<\/ol>\n<h3 id=\"closed-age-groups-2\"><span class=\"header-section-number\">4.2.2<\/span> Closed age groups<\/h3>\n<p>Next, the cohort deaths for cohorts already born are calculated, except for the last, open-ended age group. The left superscript c identifies the resulting deaths as cohort deaths. For these age groups, net-migration needs to be incorporated explicitly. Here, we follow the assumption that half the net-migration is subject to the full risk of dying in each closed age group. For calculating the contribution of net-migration to the cohort deaths, use the following formula:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07d0e2db6dfb591c6fdfff70383110b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#109;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"290\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>The cohort deaths for closed age groups in an open population is then<\/p>\n<p><span id=\"_Toc347312180\" class=\"anchor\"><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eecc74cf67b10977e37ad02400765deb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"347\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"last-open-ended-age-group-2\"><span class=\"header-section-number\">4.2.3<\/span> Last, open-ended age group<\/h3>\n<p>If the base population and the underlying life table share the same last age (z=\u03c9), then the following approach for the calculation of the last, open-ended age group must be used.<\/p>\n<p><strong>Case:<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad784120a82c29947a242e7b001c24a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#61;&#32;&#122;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><br \/>\nAs in the previous sections, two options are available for the inclusion of migration into the projection formula.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-570d01bfc05b4fcc4425039ac5762749_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#68;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#123;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"641\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p><strong>Case:<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0aec599cdb87b8b77240693401f500d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#103;&#101;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><br \/>\nDeaths occurring to the last open-ended age group are calculated as follows.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1d7eabee0ee64166e1cafdfb849c431_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#68;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"445\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<h2 id=\"forward-projection-mid-period-migration-option\"><span class=\"header-section-number\">4.3<\/span> Forward projection, mid-period migration option<\/h2>\n<h3 id=\"births-6\"><span class=\"header-section-number\">4.3.1<\/span> Births<\/h3>\n<p>First, births need to be calculated by also factoring in the effects of net-migration, that&#8217;s the impact of an increasing or decreasing population exposed to the risk of giving birth.<\/p>\n<p>It is helpful to develop the formulas separately for births born by the (female) population present at the beginning of the projection interval and those born to (female) migrants that entered during the projection interval. The births born by mothers present at the beginning of the interval are calculated using the formula for a closed population.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25858259f944804e9825bb2d77d55a74_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#112;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"317\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<p>Note that for an open population, the (female) population at time t+n at age <em>x<\/em> would already include net migration occurring during period [t, t+n]. By forward surviving the population at age x-n at time t to time t+n and age group <em>x<\/em> using survivor ratios, we get the person \u2013years lived for those present at the beginning of the projection interval<a id=\"fnref9\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn9\"><sup>9<\/sup><\/a>:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64be2ee8318fd201e8e40892c8af9f99_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#112;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#49;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"392\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>The births by age of mother born by female migrants are calculated similarly. By combining two age groups of migrants to form a cohort age group and exposing the cohort migrants to the survivor ratio that amounts to half the mortality we arrive at a more compact formula. First the migrants by age are re-arranged to form cohorts:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73bc5c805c9c7a7355e4221eb50d04ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<p>Births to migrants by age of mother are calculated by exposing the age-specific fertility rates to person years lived by the migrants<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26b98d3a5fb143c93329c58114d7eeb6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#109;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"407\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>Now the two sets of events \u2013 births by (female) population present at the beginning of the projection interval [t, t+n] and births born by migrating (female) population) \u2013 can be combined:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae18ad9e62c138ea79d9b1bd490966a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#49;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"696\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>After further simplification, we get<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5488323218c5d86e1cea194388c4b7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#110;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#70;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#123;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#120;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#49;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"602\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"survival-of-births-3\"><span class=\"header-section-number\">4.3.2<\/span> Survival of Births<\/h3>\n<p>After the births by age of mother that include the effects of net-migration have been calculated, total births are obtained by adding the births by age group. Note that for surviving births thus obtained to the end of the projection period, another contribution of net-migration still needs to be added. Remember that the births calculated above do not include those newborn migrants that were born during the projection period [t, t+n] by migrants outside the country. They are part of the migrants at age 0 to n.<\/p>\n<p>There are three approaches to deal with this (rather small) component<a id=\"fnref10\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn10\"><sup>10<\/sup><\/a>:<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: decimal;\">\n<li>Preston at al. suggested adding half the migrants aged 0 at the end of the interval.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-917f0aa37e32f1a6abeb3745cd24579e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"298\" style=\"vertical-align: -8px;\"\/>This is problematic as the migration quantities added at the end are by definition not subject to mortality.<\/li>\n<li>A more accurate solution would be to follow an approach that assumes the migrants that were born during the period are entering\/leaving the country at mid period and age aged n\/2 years.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a03f5967c0c928d3621f1186b2e5f766_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"440\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/>However, this would ignore the uneven distribution of deaths in this age group. It is also likely that children (with their parents) usually do not migrate immediately after births.<\/li>\n<li>Pollard at el. (1974, p. 122) suggest applying two thirds of the survival to those migrants, e.g. two thirds of the mortality in the interval instead of one half.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1c22a7789bc3cfaa5563c673716506c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#51;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#50;&#42;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"465\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/li>\n<\/ol>\n<p>Since the overall weight of migrants in the first age group is normally very small when compared to the receiving\/sending population, the last two approaches appear to be reasonable. The last option applying two thirds of the overall mortality in the first triangle to half the migrants of that age group appears to be slightly more appropriate, however<a id=\"fnref11\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn11\"><sup>11<\/sup><\/a>.<\/p>\n<h3 id=\"projecting-closed-age-groups-3\"><span class=\"header-section-number\">4.3.3<\/span> Projecting closed age groups<\/h3>\n<p>The number of survivor can be calculated as the sum of the survivors of the population residing in the country at the beginning of the period and the surviving net-migrants, assuming that (cohort) migrants exposed to half the risk of dying.<\/p>\n<p>First, the migrants by age group need to be re-arranged into cohort age groups.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73bc5c805c9c7a7355e4221eb50d04ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<p>The forward projection is then done using the following formula:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f07a99b7db88b47b08368b516f58c041_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#120;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"407\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"projecting-the-last-open-ended-age-group\"><span class=\"header-section-number\">4.3.4<\/span> Projecting the last, open-ended age group<\/h3>\n<p>The following describes the projection of the last, open-ended age group under mid-period migration assumption.<\/p>\n<p><strong>Case<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf2ef0d576bc2d80397c2c8e9978feed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#61;&#32;&#122;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><br \/>\nIn case the last age for the life table and the population are the same, then the following formulas should be use. First, migration figures by age need to be re-arranged into cohorts, using the formula:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bce3745b5d07c2e5a50a92964819fdb4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"288\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>Note that for the last, open-ended age group the cohort migrants aged n-z at the beginning of the projection interval is composed of half the migrants in age group z-n, plus the whole open-ended age group starting at age z.<\/p>\n<p>The projection of the last age group can then be performed by using the following formula:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af81801b739ec8fb7a21ff3ed274244e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"480\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>This formula assumes that the population age structure is stationary beginning at age z-n.<\/p>\n<p><strong>Case<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-589cb8abc26ed97bee66e3bff690e3a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#103;&#101;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><br \/>\nIn case the underlying life table has more age groups than the population, calculations can be done in more detail by separating the last closed age group from the last open-ended age group. First, migrants are re-arranged into two cohort age groups. Note that splitting the last age group in half to estimate cohort events is a rough approximation, especially if there is still sizable migration happening in that age group.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ab921ef6491026c40f452cc501952ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"426\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>With the cohort migration in place, we can project according to the following formula:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-58c5a2a9dc948b887996060dc768de62_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#42;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#43;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"735\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>If the last, open-ended age group is significantly larger as the preceding closed age group, an equal split into halves may not be justified. Hill suggested to split the last, open-ended age group into \u00bc and \u00be, respectively (Hill. 1990, p. 50).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5726105dd0a09ceae6ae2535d826e79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#52;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd37a13ace87c7a0e5694ca2e61fc0a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#51;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#52;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>These formulas assume that the population age structure is stationary beginning at age z.<\/p>\n<h2 id=\"calculation-of-cohort-deaths-2\"><span class=\"header-section-number\">4.4<\/span> Calculation of cohort deaths<\/h2>\n<h3 id=\"births-7\"><span class=\"header-section-number\">4.4.1<\/span> Births<\/h3>\n<p>Calculation of cohort deaths in an open population are shown next. We start with deaths occurring to births until the end of the projection interval. These deaths are occurring in a lower Lexis triangle, here denoted with a left superscript <em>l<\/em>. Note that the effects of net-migration to mothers are already contained in the total number of births. However, deaths experienced by migrants in the age group need to be considered. We start by calculating the deaths attributable to births born during [t, t+n].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d9df31804643d2d9191cdc6330e9058_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>Net-migration contributes twice to the number of deaths occurring to births before reaching the end of the projection interval. First, as mentioned, net-migration adds\/subtracts women at risk from the population and thus results in more\/less births than would have occurred in the absence of migration. Second, those migrants born during the projection period [t, t+n] either in the country but left before their first birthday or those born outside the country but entered the country before their first birthday also contribute to deaths during the period. However, they are not exactly zero years old, e.g. they enter or leave the country at any age between 0 and n.<\/p>\n<p>As mentioned in 4.1.1. on forward surviving births in an open population, there are three approaches on how to consider migration in that first lexis triangle.<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: decimal;\">\n<li>The approach suggested by Preston at al. does not consider the contribution to migrants in the first Lexis triangle. The number (cohort) deaths is then the same as for the case without migration in that age (note that the contribution of migrant women giving birth is included)<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d9df31804643d2d9191cdc6330e9058_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/li>\n<li>The second approach assumes that the migrants that were born during the period and entering entering\/leaving the country are exposed to the risk of dying half. The contribution of migrants to deaths in the first Lexis triangle is then<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14a5d3d2c00d21dae057c5c85a4c7ef9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#109;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"306\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/li>\n<li>To calculate the overall deaths occurring in the first Lexis triangle, we combine the formula for births and for migrants:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e7aa310a1a03bf96974079a9d38f863_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"516\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/li>\n<li>A suggestion made by Pollard would expose the migrants to two-thirds of the overall mortality in that Lexis triangle, thereby taking account of the uneven distribution of deaths in this age group<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dac48972e732866df06338219c1cdbbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#123;&#77;&#108;&#125;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#50;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#51;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"313\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/>After combining the deaths to migrants and deaths to births, one gets:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-867f2a8f1cd6fdcf4c3d3c1324fade86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#50;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#51;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#76;&#95;&#48;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#110;&#42;&#123;&#108;&#95;&#48;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"516\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/li>\n<\/ol>\n<h3 id=\"closed-age-groups-3\"><span class=\"header-section-number\">4.4.2<\/span> Closed age groups<\/h3>\n<p>When assuming cohort migrants are exposed to half the risk of dying, the contribution of migrant to the number of deaths is<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-985886b3ae285503402177ca6644c474_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#109;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"293\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>The total number of deaths in a closed age group is<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66d48c58e00f01efd0830b64659102cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"444\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<h3 id=\"last-open-ended-age-group-3\"><span class=\"header-section-number\">4.4.3<\/span> Last, open-ended age group<\/h3>\n<p><strong>Case:<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad784120a82c29947a242e7b001c24a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#61;&#32;&#122;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><br \/>\nFor the standard case when life table and population have the same last age, cohort deaths are calculated as follows.<\/p>\n<p>The migrants rearranged into a cohort format are<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0692dcba9b358e3f4dad30150221a48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64af48a0bf8d881a0b2aca197d0e408d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#68;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"547\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>If a life table with at least one more age group then is available for the population is used, then deaths can be calculated for all age groups separately, including the last closed population age group.<\/p>\n<p><strong>Case:<\/strong> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0aec599cdb87b8b77240693401f500d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#103;&#101;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><br \/>\nRecall the rearrangement of migrants into a cohort format for the last two age groups<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-245828678628c0052974824ceef74f81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7de2f9397df2cb643bbb8d81769f9cac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>Deaths attributable to the last closed age group are then<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-265b870ae324ecaa32931872d780b84e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"462\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/p>\n<p>Deaths attributable to last open-ended age group are<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b02c1679964dbb4e5ab28c5f4cbcbcb0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#114;&#105;&#120;&#123;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#68;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#80;&#95;&#122;&#94;&#116;&#42;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#32;&#43;&#32;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#42;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#123;&#49;&#32;&#45;&#32;&#123;&#123;&#84;&#95;&#123;&#122;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#123;&#84;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;&#125;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#99;&#114;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"448\" style=\"vertical-align: -17px;\"\/><\/p>\n<p>If the last, open-ended age group is significantly larger as the preceding closed age group, an equal split into halves may not be justified. Hill suggested to split the last, open-ended age group into \u00bc and \u00be, respectively (Hill. 1990, p. 50).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5726105dd0a09ceae6ae2535d826e79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#50;&#125;&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#123;&#122;&#32;&#45;&#32;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#43;&#32;&#123;&#49;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#52;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd37a13ace87c7a0e5694ca2e61fc0a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#94;&#99;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#123;&#51;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#32;&#52;&#125;&#123;&#125;&#95;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#77;&#95;&#122;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<h1 id=\"indicators-and-symbols\"><span class=\"header-section-number\">5<\/span> Indicators and symbols<\/h1>\n<p>We define the following symbols (subscripts and subscripts) for any indicator <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18b5e45cb4a1ee02e81b9a980f828db8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#73;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-691\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/Indicator-Symbol-e1505123697569-300x166.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"166\" srcset=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/Indicator-Symbol-e1505123697569-300x166.png 300w, http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/Indicator-Symbol-e1505123697569.png 449w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>We distinguish between ultimate age \u03c9 (Greek omega) for indicating the ultimate age and the last (open-ended) age <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4586e340cb83d5b642972e97a288fec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> (Latin symbol z) of the population to be projected. We also distinguish between events in a period-cohort format or cohort events for short, denoted with a left upper superscript of c, period-age events (lacking the left upper subscript).<\/p>\n<p>Table 1: Symbols of demographic indicators<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr class=\"header\">\n<th>Symbol<\/th>\n<th>Description<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><\/td>\n<td>Exact age; age at the beginning of an age group<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><\/td>\n<td>Width of an age group<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-707fcec15e450815730425a6607a1858_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><\/td>\n<td>Last age of life table (begin of last, open-ended age group)<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4586e340cb83d5b642972e97a288fec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><\/td>\n<td>Last age of population (begin of last, open-ended age group)<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4e3cbf5d4c5c6d9b702dd139f14c147_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"6\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><\/td>\n<td>Time (point of time, date)<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e58d7a7ecf77979e0521dd00fa1d8dcd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><\/td>\n<td>Time period from <em>t<\/em> to <em>t+n<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59882467b69953017f97630452e1f681_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#80;&#95;&#120;&#94;&#116;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"28\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><\/td>\n<td>Population at time t in age group <em>x<\/em> to x+n<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-018ccd5910897b97f37b73e2f2c74ded_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/td>\n<td>Births by age of mother in age group <em>x<\/em> to <em>x+n<\/em> during period [t, t+n]<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6571c09c29f84b2bc817db22c0f387c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#112;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><\/td>\n<td>Births by age of mother in age group <em>x<\/em> to <em>x+n<\/em> during period [t, t+n] that are present at the beginning of the interval<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3648d0633b5b165754b430d38855892_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#66;&#109;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/td>\n<td>Births by age of migrant mothers (in or out) in age group <em>x<\/em> to <em>x+n<\/em> during period [t, t+n]<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e9d666d938f1504ff1a3f755ce612ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#66;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/><\/td>\n<td>Total births during period [t, t+n]<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-51de37930cc9670205ae6be158ad4c0a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/td>\n<td>Migration in age group <em>x<\/em> to <em>x+n<\/em> during period [t, t+n], [P-A]<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-666baebab08f2ebea0b37325d5e49322_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#77;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><\/td>\n<td>Cohort migration (period-cohort format [P-C]).<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-817853edb6772c4b30bf1acd2a5e608a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><\/td>\n<td>Cohort deaths (period-cohort format [P-C]).<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ce3b0f78f0c581bd3876db05f0eea69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#117;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><\/td>\n<td>Deaths occurring in an upper Lexis triangle<a id=\"fnref12\" class=\"footnoteRef\" href=\"#fn12\"><sup>12<\/sup><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-93d29f580b98993c23137bcf67bec0ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#108;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><\/td>\n<td>Deaths occurring in a lower Lexis triangle<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e98ada9697cc9e7b5b4b6bc094bccae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#94;&#99;&#68;&#109;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><\/td>\n<td>Cohort deaths to migrants, or deaths to those migrants that were aged <em>x<\/em> to <em>x+n<\/em> at time t at the beginning of the period [t, t+n], (period-cohort format [P-C]).<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25eeb84e5c93488148ba2da76f5e1278_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#68;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/td>\n<td>Period deaths (period-age format), deaths to those that were aged <em>x<\/em> to <em>x+n<\/em> during the period [t, t+n]<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53d4408415ecde18fd9173b422fc8feb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#108;&#95;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"13\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/td>\n<td>Life table survivor at exact age x<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2048152238da6029f27220c45dc7b4ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#123;&#100;&#95;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/td>\n<td>Life table deaths between age <em>x<\/em> and <em>x+n<\/em> (deaths by age)<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0c39b1ef06a0f986d3c104944ac0fe3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#123;&#76;&#95;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/td>\n<td>Life table population in age group <em>x<\/em> to <em>x+n<\/em> (person-years lived in age group <em>x<\/em> to x+n, or stationary population)<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c9fdea3efe0e88b4dbb2ae3e633200c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#83;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/td>\n<td>Life table survivor ratio; ratio of population in age group <em>x<\/em> to <em>x+n<\/em> to population <em>x+n<\/em> to x+2n.<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-287adbdbe981736cb09bcaa67e0d93c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#95;&#110;&#87;&#95;&#120;&#94;&#123;&#116;&#44;&#116;&#32;&#43;&#32;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/td>\n<td>Withdrawal ratio, complement of the survivor ratio (1-S); ratio of withdrawals to population present at the beginning of the interval.<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"even\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bd1242037cb7fd716095a558e294ff1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#94;&#99;&#123;&#123;&#92;&#114;&#109;&#123;&#102;&#125;&#125;&#95;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/><\/td>\n<td>Cohort separation factor<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"odd\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/abcabacus.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af512ab45643edea2ed63fb165d024e8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#125;&#94;&#99;&#123;&#121;&#95;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/><\/td>\n<td>Cohort separation ratio<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h1 id=\"bibliography\"><span class=\"header-section-number\">6<\/span> Bibliography<\/h1>\n<p>Bohk, C. (2011). Ein probabilistisches Bev\u00f6lkerungsprognosemodel. Springer VS, Wiesbaden. (A probabilistic population projection model)<\/p>\n<p>Bretz, M. (2000). Methoden der Bev\u00f6lkerungsvorausberechnung in: M\u00fcller U., Nauck B., Dieckmann A. &#8220;Handbuch der Demographie&#8221; Band 1, S. 643-681.<\/p>\n<p>Hill, K. (1990). PROJ3S \u2013 A Computer Program for Population Projections: Diskettes and Reference Guide.<\/p>\n<p>Human Fertility Database. Max Planck Institute for Demographic Research (Germany) and Vienna Institute of Demography (Austria). Available at <a href=\"http:\/\/www.humanfertility.org\">www.humanfertility.org<\/a>.(10.08.2012)<\/p>\n<p>Pavia, J. M., F. Morillas and J. Lledo (2012). Introducing migratory flows in life table construction. Statistics and Operations Research Transactions, Vol. 36, No.1, pp. 103-114.<\/p>\n<p>Pollard, A. H., Farhat Yusuf, and G.N Pollard (1990). Demographic Techniques. Third edition. Pergamon Press<\/p>\n<p>Preston, S., N. Keyfitz, and R. Schoen. 1972. Causes of Death: Life Tables for National Populations. New York: Seminar Press.<\/p>\n<p>Preston, S. H., P. Heuveline, and M. Guillot (2001). Demography: Measuring and Modeling Population Processes, Blackwell.<\/p>\n<p>Rowland, D.T. (2003). Demographic methods and concepts. Oxford University Press.<\/p>\n<p>Swanson, D.A. and J.S. Siegel (2004) The Methods and Materials of Demography, Second Edition, Emerald Group Publishing.<\/p>\n<p>UK (2012). Background and Methodology, 2010-based NPP Reference Volume, In National Population Projections, 2010-based reference volume: Series PP2.<\/p>\n<p>UNPD (2015). Extended Model Life Tables (Version 1.3). United Nations Population Division, New York. <a class=\"uri\" href=\"https:\/\/esa.un.org\/unpd\/wpp\/Download\/Other\/MLT\/\">https:\/\/esa.un.org\/unpd\/wpp\/Download\/Other\/MLT\/<\/a>.<\/p>\n<p>Wilmoth et al. (2007). Methods Protocol for the Human Mortality Database. Version 5. In Human Mortality Database. University of California, Berkeley (USA), and Max Planck Institute for Demographic Research (Germany). Available at www.mortality.org or <a href=\"http:\/\/www.humanmortality.de\">www.humanmortality.de<\/a><\/p>\n<div class=\"footnotes\">\n<hr>\n<ol>\n<li id=\"fn1\">See, for instance, the approach used by the US Census Bureau that is using exposure-occurrence rates centered around mid-period and explicitly including half-year intervals. Bokh (2011) used a similar approach. Other authors (Hinde 1999. Statistics UK, DESTATIS 2011, Breetz, 2000.) formulate the mathematics of the projection method in terms of true probabilities, which may be confusing. It seems that there is no authoritative, consistent and comprehensive mathematical description of the cohort-component available.<a href=\"#fnref1\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn2\">This option is named \u201cmid-point adjustment\u201d in Hill (1990).<a href=\"#fnref2\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn3\">Note that the formula for calculating births in an open population in Preston et al. (2001), p. 128 is not correct. By adding half the net-migration to the population at the beginning and half to the (projected) population at the end of the interval, net migration is inadvertently added a second time \u2013 it is already part of the (projected) population at the end of the interval.<a href=\"#fnref3\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn4\">The symbol p denoting population present at beginning<a href=\"#fnref4\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn5\">The symbol m denoting migrants.<a href=\"#fnref5\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn6\">Some implementations of the cohort-component model ignore the contribution of migrants to the first age group altogether.<a href=\"#fnref6\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn7\">This approach is used by Hill (1990), but with the multiplicative variant of implementing fractional risk (see Annex III)<a href=\"#fnref7\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn8\">Pollard did not give an empirical justification for his proposal.<a href=\"#fnref8\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn9\">The symbol p denotes population at the beginning of the interval.<a href=\"#fnref9\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn10\">Some implementations of the cohort-component model ignore the contribution of migrants to the first age group altogether.<a href=\"#fnref10\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn11\">Pollard did not give an empirical justification for his proposal.<a href=\"#fnref11\">\u21a9<\/a><\/li>\n<li id=\"fn12\">Lower and upper triangles are sometimes denoted with the symbols \u03b1 and \u03b4, respectively (Keyfitz, 1968; Siegel, Swanson, 2004, p. 308)<a href=\"#fnref12\">\u21a9<\/a><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&nbsp; &nbsp; Preamble This post is part of an effort to document the cohort-component method in a comprehensive und practical way. It is work in progress, and put online hoping it is useful. Suggestions and corrections welcome! The text was taken from unpublished write-ups in MS Word (247 formulas in MathType) and turned semi-automatically (using &hellip; <a href=\"http:\/\/abcabacus.org\/?page_id=374\" class=\"more-link\">Continue reading<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;Algebra of Population Projections&#8221;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-374","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/abcabacus.org\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/374","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/abcabacus.org\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/abcabacus.org\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/abcabacus.org\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/abcabacus.org\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=374"}],"version-history":[{"count":63,"href":"http:\/\/abcabacus.org\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/374\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":765,"href":"http:\/\/abcabacus.org\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/374\/revisions\/765"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/abcabacus.org\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=374"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}